MOS信號模擬、數(shù)字和抽樣-模擬信號和系統(tǒng)

變換方法

開關(guān)電容濾波器是以模擬信號表示的抽樣數(shù)據(jù)電路。因此，一般來說它們的分析既需要模擬信號的數(shù)學(xué)工具(拉普拉斯和傅里葉變換)，又需要抽樣信號的數(shù)學(xué)工具(Z變換)。而且，這兩類變換間的關(guān)系必須正確地給以闡述和使用。為此，本章概要地給出模擬，數(shù)字和抽樣一模擬系統(tǒng)的基本定義，然后討論分析它們在時域和頻域響應(yīng)時需要的各種變換方法。最后，將描述從適當?shù)哪M“原型”系統(tǒng)獲得抽樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的設(shè)計技術(shù)。

模擬、數(shù)字和抽樣-模擬信號和系統(tǒng)

一個信號就是一個函數(shù)：在我們的應(yīng)用中，函數(shù)的自變量是時間，因變量是一個如電壓、電流或電荷的物理量。連續(xù)時間信號是一個在所討論的時間區(qū)間內(nèi)處處有確定值的信號(圖2．1(a))。離散時間信號僅在離散的時間點(通常是等步長分隔)有值(圖2.1(b))，而在其它任何時間上沒有給予表示。離散時間信號，常常通過對一個連續(xù)時間信號抽樣得到。因此，圖2.1(b)所示的信號與圖2.1（a）的信號滿足下列關(guān)系式

這里，T是抽樣間隔。另一類密切相關(guān)的信號是圖2.1（c）中表示的抽樣一保持信號。它滿足

因此，抽樣一保持信號(S／H)是一種僅在離散時間瞬刻變化量值連續(xù)時間信號。它完全由T和υ(nT)，n=0，1，2，……的值確定。

數(shù)字信號是一個數(shù)字序列。每一個數(shù)表示離散時間信號的某一量值υ(nT)。然而，數(shù)字信號中的數(shù)僅能用一個有限位的數(shù)字(如果信號是二進制碼，即為比特)表示。因此，它們只能取離散值，這些值是最小有效數(shù)字的整倍數(shù)。相反，函數(shù)υ(t)、υ(nT)和lυSH(t)可以取任何量值，被稱為模擬信號。后兩類函數(shù)，υ(nT)和υSH(t)也常常稱為抽樣-模擬信號或抽樣-數(shù)據(jù)模擬信號。

系統(tǒng)是能夠處理信號的物理裝置。根據(jù)它能處理的信號的類型而被稱為模擬的或數(shù)字的、連續(xù)的或離散的系統(tǒng)等等。數(shù)字計算機是數(shù)字系統(tǒng)的一個例子，放大器則是連續(xù)時間模擬系統(tǒng)的一個例子。在本書中討論的大部分電路處理的是如圖2.1(c)所示的抽樣一保持模擬信號。因此它們是一種特殊類型的連續(xù)時間模擬系統(tǒng)，用來變換輸入S／H信號為另一個輸出S／H信號。

處理電壓、電流、磁通和電荷等電信號的模擬系統(tǒng)便是電路或網(wǎng)絡(luò)。電路分析是通過建立網(wǎng)絡(luò)方程和解網(wǎng)絡(luò)方程來完成的。這些方程一般是通過下列三種關(guān)系獲得的：基爾霍夫電壓定律(KVZ)即電路中任何閉合回路上電壓之和為零；基爾霍夫電流定律(KCL)即進入任何節(jié)點的電流之和為零；網(wǎng)絡(luò)中的具體電路元件(電阻器、電容器、放大器等)確定的支路關(guān)系。

KVL和KCL僅涉及電壓和電流的加減。而支路關(guān)系可能涉及這些量對時間的微分或積分。因此，對于電感器L兩端電壓υL(t)和流過它的電流iL(t)滿足方程：

同樣，對于電容C，保持關(guān)系式：

因此，電路方程一般為積分一微分關(guān)系。例如圖2.2所示的電路，電流i(t)可以通過解方程

得到。為了求解，初始值i(0)和υc(0)必須已知。

這樣的積分一微分方程可以直接用數(shù)學(xué)方法求解。然而，這會導(dǎo)致求解的復(fù)雜化。采用拉氏變換求解技術(shù)會方便得多，這將在下一節(jié)中討論。

同樣，離散時間系統(tǒng)的分析也涉及網(wǎng)絡(luò)方程的建立和求解。為了建立這些方程，僅涉及加減法(類似于基爾霍夫定律)的拓撲關(guān)系必須與支路關(guān)系相結(jié)合。后者可能涉及被一個常數(shù)乘，或被一個抽樣周期T延遲。作為一個例子，考慮圖2.3所示的數(shù)字系統(tǒng)。

容易看到系統(tǒng)輸入一輸出間的關(guān)系為：

這是一個差分方程，如果給定初值y(o)和y(-T)，那么可以用直接方法求解。然而，用Z變換處理會更簡單，這將在2.4節(jié)中討論。

對于一個線性時不變連續(xù)時間模擬系統(tǒng)，一個重要的特性是它的沖擊響應(yīng)。沖擊函數(shù)或狄拉克函數(shù)δ(t)可以認為是圖2.4所示的脈沖函數(shù)Pε(t)當ε→0時的極限情況。沖擊響應(yīng)h(t)是δ(t)為輸入信號時(圖2.5a)系統(tǒng)(初始狀態(tài)為零時)的輸出。

假如同一零狀態(tài)系統(tǒng)的輸入信號為x(t)激勵[圖2.5(b))，那末可以證明，該系統(tǒng)的輸出為

這里，假定當t＜0時，x（t）=h（t）=0。因此，沖擊響應(yīng)也能夠確定系統(tǒng)對其它信號的響應(yīng)。

圖2.5中所示的x(t)和h(t)間的運算常常用x(t)*h(t)表示，稱為x(t)和h(t)的(單邊)卷積。顯然，除了非常簡單的函數(shù)，它是一個復(fù)雜的處理過程。然而，再一次應(yīng)用拉氏變換可以使這個處理過程非常容易，這將在下節(jié)中討論。

對于線性時不變離散時間系統(tǒng)可以導(dǎo)出類似的結(jié)果?，F(xiàn)在沖擊函數(shù)定義為：

沖擊響應(yīng)h（nT）是δ（nT）輸入時，系統(tǒng)（初始條件為零）的輸出。

對于一個不同的輸入信號x（nT），具有零初始狀態(tài)系統(tǒng)的輸出可由卷積（或卷積和^[3]）給出

這里，假設(shè)n＜0時，x（nT）=h（nT）=0.除了最簡單的x（nT）和h（nT）外，直接進行這一運算是冗長繁瑣的。然而，正如以后會見到的，Z變換的使用將大大減少這些必要的運算。

可以斷言，采用變換方法，線性時不變系統(tǒng)的分析會容易得多。因此，在以后的幾節(jié)中，將探討這些技術(shù)。

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