MOS信號(hào)模擬、數(shù)字和抽樣-模擬信號(hào)和系統(tǒng)

變換方法

開(kāi)關(guān)電容濾波器是以模擬信號(hào)表示的抽樣數(shù)據(jù)電路。因此，一般來(lái)說(shuō)它們的分析既需要模擬信號(hào)的數(shù)學(xué)工具(拉普拉斯和傅里葉變換)，又需要抽樣信號(hào)的數(shù)學(xué)工具(Z變換)。而且，這兩類變換間的關(guān)系必須正確地給以闡述和使用。為此，本章概要地給出模擬，數(shù)字和抽樣一模擬系統(tǒng)的基本定義，然后討論分析它們?cè)跁r(shí)域和頻域響應(yīng)時(shí)需要的各種變換方法。最后，將描述從適當(dāng)?shù)哪M“原型”系統(tǒng)獲得抽樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的設(shè)計(jì)技術(shù)。

模擬、數(shù)字和抽樣-模擬信號(hào)和系統(tǒng)

一個(gè)信號(hào)就是一個(gè)函數(shù)：在我們的應(yīng)用中，函數(shù)的自變量是時(shí)間，因變量是一個(gè)如電壓、電流或電荷的物理量。連續(xù)時(shí)間信號(hào)是一個(gè)在所討論的時(shí)間區(qū)間內(nèi)處處有確定值的信號(hào)(圖2．1(a))。離散時(shí)間信號(hào)僅在離散的時(shí)間點(diǎn)(通常是等步長(zhǎng)分隔)有值(圖2.1(b))，而在其它任何時(shí)間上沒(méi)有給予表示。離散時(shí)間信號(hào)，常常通過(guò)對(duì)一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)抽樣得到。因此，圖2.1(b)所示的信號(hào)與圖2.1（a）的信號(hào)滿足下列關(guān)系式

這里，T是抽樣間隔。另一類密切相關(guān)的信號(hào)是圖2.1（c）中表示的抽樣一保持信號(hào)。它滿足

因此，抽樣一保持信號(hào)(S／H)是一種僅在離散時(shí)間瞬刻變化量值連續(xù)時(shí)間信號(hào)。它完全由T和υ(nT)，n=0，1，2，……的值確定。

數(shù)字信號(hào)是一個(gè)數(shù)字序列。每一個(gè)數(shù)表示離散時(shí)間信號(hào)的某一量值υ(nT)。然而，數(shù)字信號(hào)中的數(shù)僅能用一個(gè)有限位的數(shù)字(如果信號(hào)是二進(jìn)制碼，即為比特)表示。因此，它們只能取離散值，這些值是最小有效數(shù)字的整倍數(shù)。相反，函數(shù)υ(t)、υ(nT)和lυSH(t)可以取任何量值，被稱為模擬信號(hào)。后兩類函數(shù)，υ(nT)和υSH(t)也常常稱為抽樣-模擬信號(hào)或抽樣-數(shù)據(jù)模擬信號(hào)。

系統(tǒng)是能夠處理信號(hào)的物理裝置。根據(jù)它能處理的信號(hào)的類型而被稱為模擬的或數(shù)字的、連續(xù)的或離散的系統(tǒng)等等。數(shù)字計(jì)算機(jī)是數(shù)字系統(tǒng)的一個(gè)例子，放大器則是連續(xù)時(shí)間模擬系統(tǒng)的一個(gè)例子。在本書中討論的大部分電路處理的是如圖2.1(c)所示的抽樣一保持模擬信號(hào)。因此它們是一種特殊類型的連續(xù)時(shí)間模擬系統(tǒng)，用來(lái)變換輸入S／H信號(hào)為另一個(gè)輸出S／H信號(hào)。

處理電壓、電流、磁通和電荷等電信號(hào)的模擬系統(tǒng)便是電路或網(wǎng)絡(luò)。電路分析是通過(guò)建立網(wǎng)絡(luò)方程和解網(wǎng)絡(luò)方程來(lái)完成的。這些方程一般是通過(guò)下列三種關(guān)系獲得的：基爾霍夫電壓定律(KVZ)即電路中任何閉合回路上電壓之和為零；基爾霍夫電流定律(KCL)即進(jìn)入任何節(jié)點(diǎn)的電流之和為零；網(wǎng)絡(luò)中的具體電路元件(電阻器、電容器、放大器等)確定的支路關(guān)系。

KVL和KCL僅涉及電壓和電流的加減。而支路關(guān)系可能涉及這些量對(duì)時(shí)間的微分或積分。因此，對(duì)于電感器L兩端電壓υL(t)和流過(guò)它的電流iL(t)滿足方程：

同樣，對(duì)于電容C，保持關(guān)系式：

因此，電路方程一般為積分一微分關(guān)系。例如圖2.2所示的電路，電流i(t)可以通過(guò)解方程

得到。為了求解，初始值i(0)和υc(0)必須已知。

這樣的積分一微分方程可以直接用數(shù)學(xué)方法求解。然而，這會(huì)導(dǎo)致求解的復(fù)雜化。采用拉氏變換求解技術(shù)會(huì)方便得多，這將在下一節(jié)中討論。

同樣，離散時(shí)間系統(tǒng)的分析也涉及網(wǎng)絡(luò)方程的建立和求解。為了建立這些方程，僅涉及加減法(類似于基爾霍夫定律)的拓?fù)潢P(guān)系必須與支路關(guān)系相結(jié)合。后者可能涉及被一個(gè)常數(shù)乘，或被一個(gè)抽樣周期T延遲。作為一個(gè)例子，考慮圖2.3所示的數(shù)字系統(tǒng)。

容易看到系統(tǒng)輸入一輸出間的關(guān)系為：

這是一個(gè)差分方程，如果給定初值y(o)和y(-T)，那么可以用直接方法求解。然而，用Z變換處理會(huì)更簡(jiǎn)單，這將在2.4節(jié)中討論。

對(duì)于一個(gè)線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間模擬系統(tǒng)，一個(gè)重要的特性是它的沖擊響應(yīng)。沖擊函數(shù)或狄拉克函數(shù)δ(t)可以認(rèn)為是圖2.4所示的脈沖函數(shù)Pε(t)當(dāng)ε→0時(shí)的極限情況。沖擊響應(yīng)h(t)是δ(t)為輸入信號(hào)時(shí)(圖2.5a)系統(tǒng)(初始狀態(tài)為零時(shí))的輸出。

假如同一零狀態(tài)系統(tǒng)的輸入信號(hào)為x(t)激勵(lì)[圖2.5(b))，那末可以證明，該系統(tǒng)的輸出為

這里，假定當(dāng)t＜0時(shí)，x（t）=h（t）=0。因此，沖擊響應(yīng)也能夠確定系統(tǒng)對(duì)其它信號(hào)的響應(yīng)。

圖2.5中所示的x(t)和h(t)間的運(yùn)算常常用x(t)*h(t)表示，稱為x(t)和h(t)的(單邊)卷積。顯然，除了非常簡(jiǎn)單的函數(shù)，它是一個(gè)復(fù)雜的處理過(guò)程。然而，再一次應(yīng)用拉氏變換可以使這個(gè)處理過(guò)程非常容易，這將在下節(jié)中討論。

對(duì)于線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)可以導(dǎo)出類似的結(jié)果?，F(xiàn)在沖擊函數(shù)定義為：

沖擊響應(yīng)h（nT）是δ（nT）輸入時(shí)，系統(tǒng)（初始條件為零）的輸出。

對(duì)于一個(gè)不同的輸入信號(hào)x（nT），具有零初始狀態(tài)系統(tǒng)的輸出可由卷積（或卷積和^[3]）給出

這里，假設(shè)n＜0時(shí)，x（nT）=h（nT）=0.除了最簡(jiǎn)單的x（nT）和h（nT）外，直接進(jìn)行這一運(yùn)算是冗長(zhǎng)繁瑣的。然而，正如以后會(huì)見(jiàn)到的，Z變換的使用將大大減少這些必要的運(yùn)算。

可以斷言，采用變換方法，線性時(shí)不變系統(tǒng)的分析會(huì)容易得多。因此，在以后的幾節(jié)中，將探討這些技術(shù)。

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